Фрактал Мальденброта

Оказывается, она позволяет обнаружить совершенно неожиданные соотношения в природе. Например, площадь континента или крупного острова S соотносится с его периметром по формуле S примерно равно P2/D, где D – фрактальная размерность. Аналогичные соотношения существуют на массу и периметр, массу и диаметр и многие другие (хоть это и не имеет отношение к обсуждаемой теме, но можно упомянуть, что фрактальная размерность натурального пуха равна 1,6). Тяжелые вычисления в данном случае – множество Мандельброта, пожалуй, самый известный фрактал в мире. В наши дни, когда существуют такие сложные программы, как XaoS, обеспечивающие увеличение множества Мандельброта в реальном времени, стандартный алгоритм Мандельброта как раз настолько медленный, что подходит для наших целей. Термин «фракталы» у российских трейдеров традиционно связан с именем Билла Вильямса.

В моделировании поведения рынка Мандельброт использует более сложную «мультифрактальную» модель, которая использует три измерения и так называемый «фрактальный куб». Вместо этого рассмотрим два других наблюдения фрактальной геометрии, которые более просты для понимания и дают трейдеру пищу для размышлений. – дроблёный, сломанный, разбитый) – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Различный выбор комплексного числа С приводит к разнообразным конфигурациям. На простом черно-белом изображении не видно такого богатства форм. Сложную динамическую структуру можно отразить только в цвете. Таким образом, у нас появляется инициатор, который выглядит следующим образом (см. рис. 2, 3).

Этого множества является центральной темой фрактальной геометрии, изучая которую, Мандельброт обнаружил «фрактальный порядок» там, где до него видели только беспорядок. Это, вообще говоря, неудивительно, так как в абстрактной математике многие из умопостигаемых математических сущностей оказываются в то же время представимы пространственно, то есть имеют аналоги в чувственно воспринимаемом мире. Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово «гугол», обозначающее единицу со ста нулями.

Результат работы программы

Run() довольно большая функция, поэтому мы разбили ее на части. MandelbrotWidget – подкласс QWidget, отображающий множество Мандельброта на экране и позволяющий пользователю масштабировать и прокручивать его. RenderThread – подкласс QThread, представляющий множество Мандельброта. Точки находятся на расстоянии 1 от нуля, их последовательности образуют окружность единичного радиуса. Мне нужно нарисовать Множество мандельброта в Borland C++ builder.

• На любом уровне фигуры каждый ее элемент подобен элементу на более низком или более высоком масштабе.
• Отсюда понятно, что интересные варианты множества Жюлиа соответствуют точкам, лежащим на границе множества Мандельброта.
• Наблюдать меняющиеся картины фракталов с текущими параметрами палитры и яркости.
• Можно раскрасить точки множества в чёрный цвет, оставив все остальные белыми.
• Основная проблема торговли по фракталам — это многочисленные пробои фракталов-экстремумов.
• «Фракталы Вильямса» знают все и они даже включены в список индикаторов известной платформы MetaTrader 4.

Тем не менее, считает он, даже с помощью сравнительно несложной https://fxdu.ru/ современный компьютер можно превратить в «своеобразный микроскоп» и наблюдать с его помощью за поведением границы фрактального множества. Точное по мощности множество между рядом натуральных чисел N и континуумом вида . Оно получается последовательным выбрасыванием третей из сегмента . То есть единичный отрезок прямой делится на три равные части, и средняя часть выбрасывается. С каждой из двух оставшихся частей совершается такая же операция (см. рис. 1). Есть большое количество программ для рисования фракталов, но, несмотря на это, многие люди пишут свои программы для большей гибкости при экспериментах.

Стартовая точка (длина 1, угол 0.001 рад) очень близка к горизонтальной оси. Соответственно, единичная окружность проходит через нее почти вертикально. К слову сказать, чтобы получить последовательность из 5000 адекватных значений, пришлось работать с точностью до 2000 значащих цифр. Фактически, каждая итерация последовательности приводит (грубо, за счет использования остатка от деления угла) к потере одного старшего разряда и подтягиванию одного разряда снизу, из “великого ничто”.

Геометрические фракталы

С каждым новым масштабом практически повторяется снова и снова. Чтобы рассчитать фрактал Жюлиа – кликнуть по инструментальной кнопке Ж (множество Жюлиа). Сейчас немного отойдём от чистого в сторону исходной задачи. Правда, стартовая точка будет не в начале координат, а на единичной окружности. В результате можно работать с очень маленькими константами, ведь в этом случае не требуется вытаскивать последовательность на окружность для демонстрации нетривиального поведения.

Когда употребляется термин «общие фонды банковского управления», чаще всего подразумевается плоское двухмерное изображение. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения. В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты.

После чего мы с коллегами могли часами генерировать и рассматривать завораживающие картинки, записывая выдающиеся в файлы на память. После упомянутой публикации подобные множества стали необычайно популярны, например, множество Мандельброта использовал в качестве своей эмблемы фонд Соросаએ. Гораздо позже, лет через десять, когда меня поразил Парадокс береговой линииએ, я узнал красивое и непонятное словосочетание «голоморфная динамика». Чаще действуют по другому — фиксируют радиус и для каждого значения константы подсчитывают число итераций, за которое последовательность до него добралась.

Чёрно-белое множество, то которое получил Мандельброт

Но если понимать современную математику только как науку об абстрактных аксиоматических структурах, то большая часть вычислительной математики в нее явно не укладывается. Поэтому в контексте системного подхода к обоснованию математических теорий следует стремиться к их объединению, синтезу и замыканию их, в конце концов, в системную целостность. Философия фрактальной геометрии рационализирует и конкретизирует восточный принцип «одно во всем и все в одном», указывая на область его применимости и одновременно методологически открывая простоту сложного. Поэтому благодаря этому новому разделу математики, зная ход процессов на малых масштабах, можно открывать возможность их определения на Больших масштабах и, соответственно, наоборот.

Если посмотреть на множество фракталов, в них можно увидеть множество отличий. Эти отличия наблюдаются не только в форме фигур, из которых состоят фракталы, но и в самой форме представления этих множеств. Таким образом, различают геометрические, алгебраические и стохастические фракталы. Поиск красивых изображений множества Мандельброта — интересное хобби для очень многих людей. Они собирают коллекции таких изображений, причём каждое из них может быть описано небольшим количеством параметров, например, просто координатами центра. На этом занятии мы будем строить множество Мандельброта по той же самой формуле.

Мы сейчас знаем о строении Вселенной примерно столько же, сколько древние люди знали о поверхности Земли. Точнее, мы знаем, что небольшая часть Вселенной, доступная нашим наблюдениям, устроена так же, как небольшая часть трёхмерного евклидова пространства. Иначе говоря, мы живём на трёхмерном многообразии (3-многообразии). Кругосветным путешествиям и построениям полных атласов может предшествовать априорная классификация маломерных многообразий — вопрос о том, где мы “на самом деле” живём заменяется на вопрос где мы могли бы жить?

Примеры того, какими могут быть фракталы, вы можете увидеть на картинке из книги “Торговый хаос”. Для образования нижнего фрактала бар должен иметь самый низкий минимум по сравнению с 2-мя барами слева и 2-мя барами справа. Стрелками на графике показаны фракталы, которые являются экстремумами — то есть, локальными минимумами или максимумами на текущем графике. Могут устареть торговые системы, начать хуже работать и запаздывать торговые индикаторы, но базовые принципы, чаще всего остаются неизменными.

Понятно, в “великом ничто” точность неограниченна, нам же приходится работать с конечными объемами данных. Здесь показаны первые 500 и 5000 точек из уже знакомой последовательности, начинающейся с угла 0.001 радиана. Обобщим, точки с углом ± (n — целое неотрицательной число) также рано или поздно попадают в стационарную точку. Аналогично, любая последовательность со стартовой длиной больше единицы тут же стартует в бесконечность. Формула Муавра утверждает, что возведение комплексного числа в квадрат приводит к возведению длины в квадрат, угол при этом удваивается. Фиг.1 Множество Мандельброта в координатах — реальная и мнимая части константы.

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату , французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер. Множество Мандельброта, как и рассматривавшиеся ранеебассейны Ньютона, относится к фракталам — множествам, обладающим свойством самоподобия. Картина набор мандельброта, фрактал, будда на холсте 120х90 см.

Еще совсем недавно в исторической перспективе в подобное мало кто мог бы поверить. Но теперь, перед нами раскрылось все богатство фрактальных процессов и форм. Это, безусловно, раздвинуло горизонты нашего сознания, позволило лучше понять фундаментальные процессы природы и, возможно, самого акта рождения упорядоченных форм во вселенной.

Как устроены фракталы: бесконечность и красота математики

Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений. Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере.

«Фракталы Вильямса» знают все и они даже включены в список индикаторов известной платформы MetaTrader 4. Но мало кто знает имя настоящего автора этого понятия — Бенуа Мандельброта, известного математика, создателя фрактальной геометрии. Возможно, этой статьи никогда бы не было, если бы Бенуа Мандельброт не занялся всерьез применением фракталов на финансовых рынках.

Итак, если выяснится, что последовательность практически зациклена, прежде чем обнаружится её практическая неограниченность, она объявляется практически ограниченной. Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор — воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman. В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия. Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме «Гнев Хана» Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.